שאלת כיסוי הריבועים

מאת: ד"ר אברהם בן עזרא

באיור מספר 1 מתואר לוח ריבועים המורכב מריבועים זעירים
שהוא ריבוע אשר בשני קצותיו הנגדיים חסרים שני ריבועים זעירים.
מספר השורות בריבוע שווה כמובן למספר הטורים בו- שווה n.
השאלה היא- האם אפשר לכסות את כל הריבועים הזעירים באמצעות
אבני הדומינו, כשכל כלי משחק יחיד מכסה בדיוק שני ריבועים זעירים?








תשובה והסבר:

השאלה ידועה לציבור חובבי החידות, ולהלן מוצע פתרון על דרך ההיגיון,
ללא שום חישוב מתימטי.

יש שתי אפשרויות:

אפשרות א'- n אי זוגי. במקרה כזה, מספר הריבועים יהיה גם הוא אי זוגי,
כי מספר אי זוגי בריבוע נותן תוצאה אי זוגית, והתוצאה תישאר אי זוגית
גם לאחר הורדת 2[ שני הריבועים הזעירים שבקצוות[.
לפיכך, אם נחל לכסות את הריבוע הגדול באבני הדומינו הרי בכל פעם נכסה
שני ריבועים זעירים, ואפילו אם תצלח המלאכה מאוד מאוד, לבסוף יוותר ריבוע
זעיר אחד ללא כיסוי.

אפשרות ב'- n הוא מספר זוגי. לשם בחינת אפשרות זו, ראה איור מס' 2
בו הושחרו הריבועים הזעירים לסירוגים כבלוח הדמקה.



ברור שבמקרה כזה, בו חסרים שני הריבועים הזעירים שבפינות הנגדיות,
יהיה מספר הריבועים השחורים שונה ממספר הריבועים הלבנים-
קטן ממנו ב-2 או גדול ממנו ב-2. מכיוון שבכל פעם שאני מניחים כלי דומינו
על הלוח הגדול אנו מכסים ריבוע אחד שחור וריבוע אחד [הצמוד לו] לבן,
ברור שבגלל אי שוויון סוגי הריבועים הזעירים, יוותרו תמיד ריבועים ללא כיסוי.

הוכחנו כי המשימה היא בלתי אפשרית.

הקורא מוזמן להרחיב את החידה לגבי מלבן ריבועים במקום ריבוע, תוך שימת לב
למגוון האפשרויות של מספר שורות זוגי או אי זוגי, וכן גם מספר הטורים.



il לתגובות: .net.inter@bezra



מאמרים נוספים בפינה: מחשבתחילה
קניון loox

חיפוש

חיפוש מתקדם

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו