הפרדוכס של דניאל ברנולי

מאת: ד"ר אברהם בן עזרא

הפרדוכס בו מדובר מקורו בחידה אותה חד ניקולא ברנולי בשנת 1713
חידה שפתרה כמה שנים מאוחר יותר המתמטיקאי דניאל ברנולי
[1782-[1700, והיא נקראת על שם הפותר.
משפחת ברנולי הייתה משפחה של מתמטיקאים שהתגוררו בשוייץ,
ובנוסף לנזכרים לעיל- ידועים גם ז"אק ברנולי [1705-[1654
וז"אן ברנולי [1748-[1667.

החידה:

שמעון וראובן משחקים זה מול זה בהטלת מטבע; נתון מטבע שבצדו
האחד מספר ובצדו השני ציור.
אם עולה הציור בהטלה הראשונה- ראובן מקבל 1 שקל, והמשחק מסתיים.
במשחק השני, וכן הלאה- בכל משחק, אם מתקבל ציור בהטלה הראשונה-
ראובן מקבל 1 שקל, אם הציור עולה בהטלה השניה- ראובן מקבל 2 שקל,
אם עולה הציור בהטלה השלישית בלבד כאשר בראשונה ובשניה מופיעים
מספרים- מקבל ראובן 4 שקלים, וכן הלאה- אם יעלה הציור רק בהטלה
ה-n, כאשר בכל ההטלות שלפניה יעלה המספר, יקבל ראובן באותו משחק
<12 שקלים.
השאלה היא- כמה כסף כדאי לראובן לשלם לשמעון עבור כל משחק
[כאמור משחק מסתיים עם הופעת הציור]?
ועוד פרט חשוב: אין הגבלה למספר המשחקים בתחרות זו.

התשובה וההסבר:

הפתרון מוביל לתשובה מפתיעה ביותר, ולכן חידה מכונה "פרדוכס ההסתברות
של דניאל ברנולי".
ולהלן ההסבר: לגבי כל משחק, יש לראובן סיכוי של 50] ] להרוויח 1 ש"ח%] להרוויח 1 ש"ח,
סיכוי של להרוויח 2 ש"ח, סיכוי של 1/8 להרוויח 4 ש"ח, סיכוי של 1/16
להרוויח 8 ש"ח, וכך הלאה עד אינסוף.

להלן חישוב כלל הסיכויים להרוויח במשחק בהנחה של מספר אינסופי של משחקים:

...+<1+1/2n*2...+<21+1/8*20+1/4*2 P=1/2*2
עד אינסוף.

לפיכך מתקבל כי-

=...+P=1/2+1/2+1/2+1/2
אינסוף,
כי אינסוף פעמים חיבור המספר חצי- שואף לאינסוף.

להלן נוסחו של משפט ברנולי, המהווה את אחד מחוקי "המספרים הגדולים":

יהא p האומדנא התיאורטית לאירוע מסוים,
S מספר הניסיונות,
y מספר ההצלחות.

y/s- יחס זה מוגדר כתדירות היחסית של התוצאות.

משפט ברנולי קובע כי כאשר מספר הניסיונות שואף לאינסוף,
התדירות היחסית שואפת לאומדנה התיאורטית:

כאשר s שואף לאינסוף,
> p- Lim y/s

במקרה שלנו כפי שהוכח p שואף לאינסוף.

הטעות האפשרית [או: הכשל בהבנה] נעוצה בכך שלגבי מקרים מועטים
[y בעל ערך קטן[, התדירות היחסית יכולה להיות שונה מאוד מהאומדנה,
ורק עבור מספר גדול של ניסיונות [s] מתקבל שההפרש בין התיאוריה
לבדיקות המעשיות הוא מתאפס בהדרגה ככל שגדל מספר הניסיונות.

להלן דוגמא להמחשה:

נישאר בתחום הטלת המטבע. האומדנה התיאורטית שבהטלת מטבע יופיע
מספר ולא ציור היא כידוע .
נניח שהטלנו מטבע פעמיים, ובשני המקרים הופיע ציור. מאורע כזה די שכיח.
נבדוק את מבחן ההתאמה בין התיאוריה למעשה במקרה זה:

Y/s=0/2=0 [התדירות היחסית של התוצאות[

בעוד שקיים-

P=1/2 [האומדנא התיאורטית לאירוע מסוים[

ברור כי חצי לא שווה לאפס...

מאידך, אם נטיל המטבע מאה או אלף פעמים, ניווכח כי ככל שגדל מספר
ההטלות, מתקרב הערך של התדירות היחסית של התוצאות לחצי.
לעובדה ניסיונית זו, בה כל קורא יכול להיווכח בעצמו באמצעות
ניסוי פשוט של הטלת מטבע, יש ערך רב בקביעת גודל המדגם הסטטיסטי
בביצוע מחקרים שונים.

סיכום:

כדאי לשלם סכום קבוע עבור כל משחק- גבוה ככל שיהיה,
ובלבד שהמציע זאת יתאזר בסבלנות לקיים את התחרות די זמן
עד לסוף המובטח של הזכייה- סוף שבוא יבוא, כפי שהוכח לעיל.

לראובן כדאי לשלם לשמעון בעבור כל משחק כל סכום בו ינקוב שמעון.

il לתגובות: .net.inter@bezra



מאמרים נוספים בפינה: מחשבתחילה

חיפוש

חיפוש מתקדם

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו