גלגל סובב

מאת: ד"ר אברהם בן עזרא

באיור מספר 1 מתואר גלגל המתגלגל לאורך מישור. אם נבחן את נקודה A, ניווכח כי לאחר
סיבוב אחד שלם היא מגיעה אל <1A, O מגיעה אל <1O, ו-B המצויה בתווך בין הנקודה A
שבשפת המעגל לבין הנקודה O שבמרכז- מגיעה אל <1B.

כמובן שהמרחק <1A-A הוא: 2πR, כאשר R הוא רדיוס המעגל כמוראה באיור 1.




לעתים בספרי חידות עולה השאלה הפרדוכסלית-לכאורה- אמנם נקודה A בהגיעה אל <1 A
עוברת דרך כאורך היקפו של המעגל שרדיוסו R, אך ברור כי גם הקטע <1B-B שהוא דרכה של
נקודה B בעוברה סיבוב שלם, בעל אותו אורך, והרי המעגל של B רדיוסו קטן יותר-OB
קטן מ-R=OA ; האין בכך פרדוכס?





תשובה והסבר:

ובכן, אין פרדוכס אלא הצגת דברים בצורה לא מדויקת. שכן בבחינת מצב התחלי מול מצב
סופי של מרכז המעגל- O היינו צריכים כביכול לקבל תוצאה של אפס דרך, כי נקודה O
נמצאת במרכז המעגל [רדיוס אפס[, אלא ששיעור ההעתקה בעבור הגלגל סיבוב שלם הוא
מורכב משני חלקים: חלק ראשון היקף המעגל בו מצויה הנקודה הנבחנת, ואורכו של חלק
זה הוא כלהלן:



ככל שמתקרבים למרכז, כך גדל מרכיב "ההחלקה" וקטן מרכיב התנועה הסיבובית, באופן
שסכומי ההעתקות של הנקודות אשר על הקטע שבין נקודת ההשקה של המעגל עם מסלול
התנועה [הקוו הישר התחתוןA ] לבין מרכז המעגל O יהיה תמיד גודל קבוע- שהוא היקף
המעגל =2πR. מדובר, כמובן, בסיבוב אחד שלם.

להשלמת התמונה, מוראה באיור מספר 2 מהו מסלולה של נקודה על המעגל, [על הגלגל[
המתגלגל לאורך קוו ישר. [המסלול הוא הדרך אותו עוברת הנקודה; להבדיל משיעור
ההעתקה שהוא המרחק בים נקודת המוצא לנקודת הסיום ללא תלות בתוואי[.

העקומה המתוארת באיור מס' 2 נקראת ציקלואידה, והיא מתוארת באופן אנליטי כלהלן:

נקודת המוצא בתחילת הסיבוב היא [באיור מס' [2- O
נקודת ההגעה לאחר סיבוב שלם-S
OS=2πR
מרכז המעגל M ורדיוסו R
הזווית המשתנה עם התנועה- זו אשר נוצרת בין הקטע MA לבין הקטע הניצב למסלול MP
היא w.

מעיון באיור 2 קל להיווכח כי המשוואות המתארות את הציקלואידה ביחס לראשית הצירים O
הן:

sinw]R-w]=X
cosw]R-Y=[1
W הנמדדת ברדיאנים כפול R שווה לאורך הקשת AP וקשת זו שווה באורכה לקטע OP.




il לתגובות: .net.inter@bezra



מאמרים נוספים בפינה: מחשבתחילה
קניון loox

חיפוש

חיפוש מתקדם

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו