כל העולם - גשר?

מאת: ד"ר אברהם בן עזרא

ליאונרד אוילר [1707-1783] הוא מסוללי הדרך של המתימטיקה המודרנית
סקרנותו ופוריותו המדעית הם שם דבר בתולדות המדעים בכלל
והמתימטיקה בפרט, והוא נחשב בצדק לגדול המתמטיקאים בדורו. מסופר
כי בעת ביקור שערך אוילר בעיר קניגסברג [לימים לנינגרד[, חדו לו
תושבי העיר את החידה הבאה:

האם יוכל תושב בית השוכן על האי הפורח [ראה איור מס' 1] לצאת למסע
בו יחצה את הנהר המתפצל, יבקר בחצי אי הסלעים, יפקוד את כל חלקי
היבשות d,c,b,a יעבור דרך כל הגשרים א' עד ז' מבלי לעבור דרך אותו
גשר יותר מפעם אחת, ויחזור בשלום לביתו?



אוילר, שהתעניים מאוד במדע הטופולוגיה הכין שרטוט טופולוגי [ראה
איור מספר 2] והשיב כי הדבר בלתי אפשרי. התושבים לא הסתפקו בתשובה
זו, והקשו:
"איך ניתן לבצע בכל זאת לבצע את המשימה על ידי העתקת מיקומו של גשר
אחד בלבד?







תשובה והסבר:

במודל הטופולוגי לבעיה [איור מס' 2] מסומן כל שטח אדמה כנקודה, וכל
גשר בקוו-מחבר. אכן יש במודל זה 4 צמתים כמספר היבשות ו-7 קווים
כמספר הגשרים, ועיון במודל מביא לידי מסקנה כי הוא מתאים לציור 1,
לדוגמא מ-a ל-d אפשר על פי המודל להגיע דרך שני קווים, ואכן
המעבר כפי שמוראה באיור מס' 1 הוא אפשרי גם דרך גשר ד' וגם דרך
גשר ו'.

במודל כזה אין כל משמעות למרחק בין הגשרים ולגודל ולצורת היבשות.
מכיוון שמכל אזור שאליו מגיעים צריך גם לצאת, הרי שבכל צומת
במודל, כדי שיהיה פתרון, צריכים להיפגש מספר זוגי של קווים
[גשרים[, ותנאי זה אינו מתקיים במודל המתאר את השאלה בטרם פתרונה
במודל זה, המובא באיור מס' 2, מהגשרים a ו- b, לדוגמא, יוצאים 3
קווים.

הפתרון הנכסף אפשרי על ידי ביטול קוו החיבור d-c שבאיור מס' 2
והעתקתו לחבר בין הנקודות a ו- b ; המשמעות היא העתקת הגשר ב' אל
מיקומו החדש במזרח, כמוראה באיור מס' 3.




il לתגובות: .net.inter@bezra



מאמרים נוספים בפינה: מחשבתחילה
קניון loox

חיפוש

חיפוש מתקדם

הצטרף לרשימת התפוצה שלנו